En mathématiques, la notation du constructeur d'ensembles est une notation mathématique permettant de décrire un ensemble en répertoriant ses éléments ou en démontrant ses propriétés que ses membres doivent satisfaire.
En notation set-builder, nous écrivons des ensembles sous la forme de
{y | (propriétés de y)} OU {y : (propriétés de y)}
Où les propriétés de y sont remplacées par la condition qui décrit complètement les éléments de l'ensemble. Le symbole « | » ou « : » est utilisé pour séparer les éléments et les propriétés. Les symboles '|' ou ':' se lisent comme « tel que » et l'ensemble complet se lit comme « l'ensemble de tous les éléments y » tel que (propriétés de y). Ici, nous utilisons levariable«y» pour formuler les propriétés des éléments de l'ensemble.
Exemple:
X = {y : y est une lettre du dictionnaire de mots}
Nous le lisons comme,
« X est l'ensemble de tous les y tels que y est une lettre du dictionnaire de mots ».
(L'image sera bientôt téléchargée)
Qu’est-ce qui est défini en mathématiques ?
En mathématiques, l'ensemble est un groupe non ordonné d'éléments représenté par la séquence d'éléments (séparés par des virgules) entre accolades {" et "}.
Par exemple, {chat, vache, chien} est un ensemble d'animaux domestiques, {1, 3, 5, 7, 9} est un ensemble denombres impairs, {a, b, c, d, e} est un ensemble d'alphabets.
Comprenons les notations du Set Builder
Set Builder Notations est la méthode permettant de décrire l'ensemble tout en décrivant les propriétés et pas seulement en répertoriant ses éléments. Lorsqu'il y a formation d'ensembles dans une notation de constructeur d'ensembles, cela s'appelle compréhension, définition d'une intention et abstraction d'ensembles.
La notation du constructeur d'ensembles contient une ou deux variables et définit également quels éléments appartiennent à l'ensemble et les éléments qui n'appartiennent pas à l'ensemble. La règle et les variables sont séparées par une barre oblique et deux points. Ceci est souvent utilisé pour décrire des ensembles infinis.
Voyons les symboles utilisés dans la notation Set Builder
Il existe différents symboles utilisés, par exemple pour le symbole d'élément ∈ est noté pour l'élément, le symbole ∉ est noté pour montrer que ce n'est pas un élément, pour le nombre entier c'est W, le symbole Z désigne entiers, le symbole N désigne tous les nombres naturels et tous les entiers positifs, le symbole R désigne les nombres réels, le symbole Q désigne les nombres rationnels.
Définir les notations du Set Builder
La méthode permettant de définir un ensemble en décrivant ses propriétés plutôt que de lister ses éléments est connue sous le nom de notation de constructeur d'ensembles.
La formation d'un ensemble dans la notation de construction d'ensembles est également connue sous le nom de compréhension d'ensemble, d'abstraction d'ensemble et d'intention.
La notation du constructeur d'ensemble comprend une ou plusieurs variables et une règle qui définit quels éléments appartiennent à l'ensemble et quels éléments n'appartiennent pas à l'ensemble. Cette règle est souvent représentée sous forme de prédicats. La règle définie et les variables sont séparées par une barre oblique verticale « | » ou deux points (:). Cette méthode est largement utilisée pour décrire des ensembles infinis.
Par exemple, {y : y > 0} se lit comme : « l’ensemble de tous les y, tels que y est supérieur à 0 ».
Définir les symboles de notation du générateur
Les différents symboles utilisés pour représenter la notation du constructeur d'ensembles sont les suivants :
Le symbole ∈ « est un élément de ».
Le symbole ∉ « n'est pas un élément de ».
Le symbole W désigne le nombre entier.
Le symbole Z désigneentiers.
Le symbole N désigne toutnombres naturelsou tous les entiers positifs.
Le symbole R désignenombres réelsou tout nombre qui n'est pas imaginaire.
Le symbole Q désignenombres rationnelsou tout nombre pouvant être exprimé sous forme de fraction.
Les exemples de notation de constructeur d'ensembles donnés ci-dessous vous aideront à définir la notation de constructeur d'ensembles de la manière la plus appropriée. Les différents exemples de notation de constructeur d'ensembles sont les suivants :
Exemples de notation du générateur d'ensembles
Exemple | Notation du constructeur de jeux | Lire comme | Signification |
1. | {o : y > 0} | L'ensemble de tous y tels que y est supérieur à 0 | Toute valeur supérieure à 0 |
2. | {y : y ≠ 15} | L'ensemble de tous y tels que y est n'importe quel nombre sauf 15 | N'importe quelle valeur sauf 15 |
3. | {y : y < 7} | L'ensemble de tous y tels que y soit un nombre inférieur à 7 | Toute valeur inférieure à 7 |
4. | {k ∈ Z : k > 4 | L'ensemble de tous les Kin Z, tels que K soit tout nombre supérieur à 4. | Tous les entiers supérieurs à 4 |
Représentation des méthodes d'ensembles
Il existe deux méthodes différentes pour représenter des ensembles. Ceux-ci sont:
Forme tabulaire ou méthode torréfiée.
Définir le formulaire -Builder ou la méthode de règle.
Forme tabulaire ou méthode torréfiée
Dans la méthode rôtissoire, les éléments de l'ensemble sont répertoriés entre accolades {} et chaque élément est séparé par des virgules. Si l'élément apparaît plus d'une fois dans la collection, il ne peut être écrit qu'une seule fois.
Exemple,
L'ensemble X des cinq premiers nombres naturels s'écrit X = {1,2,3,4,5}.
L'ensemble A de la lettre du mot MUMBAI s'écrit A = {M, U, B, A, I}.
Note:Les éléments de l'ensemble dans la méthode rôtie peuvent être répertoriés dans n'importe quel ordre. Par conséquent, l’ensemble {A,B,C,D} peut s’écrire {B, A, C,D}.
Définir un formulaire de générateur ou une méthode de règle
Si les éléments d’un ensemble ont une propriété commune alors ils peuvent être définis en décrivant la propriété. Par exemple, les éléments de l'ensemble A = {1,2,3,4,5,6} ont une propriété commune, qui stipule que tous les éléments de l'ensemble A sont des nombres naturels inférieurs à 7. Aucun autre nombre naturel ne conserve cette propriété. On peut donc écrire l’ensemble X comme suit :
A = {x : x est un nombre naturel inférieur à 7} qui peut se lire comme « A est l'ensemble des éléments x tel que x est un nombre naturel inférieur à 7 ».
L’ensemble ci-dessus peut également s’écrire A = {x : x N, x < 7}.
On peut aussi écrire, ensemble A = {l'ensemble de tous les nombres naturels inférieurs à 7}.
Dans ce cas, la description de la propriété commune des éléments d’un ensemble est inscrite à l’intérieur des accolades. Il s'agit de la forme simple d'un formulaire de création d'ensembles ou d'une méthode de règle.
Pourquoi utilisons-nous la notation Set Builder ?
Si vous vous demandez pourquoi utilisons-nous une notation aussi compliquée pour représenter des ensembles ?
Ou
Quelle est l’importance d’utiliser une notation aussi compliquée ?
Maintenant, vous pouvez trouver la réponse à cette question.
Si on vous demande de lister un ensemble d'entiers compris entre 1 et 6 inclus, vous pouvez simplement utiliser un formulaire de torréfaction pour écrire {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Mais le problème peut se poser si on vous demande de lister les nombres réels dans le même intervalle dans le torréfacteur.
L’utilisation de la notation set-builder serait pratique dans cette situation.
En commençant par tous les nombres réels, on peut les limiter à l’intervalle compris entre 1 et 6 inclus. Il sera donc représenté ainsi :
{x : x ≥ 1 et x ≤ 6}
La notation du constructeur d'ensembles est également pratique pour représenter d'autres ensembles algébriques. Par exemple,
{y : y = y²}
La notation set-builder est largement utilisée pour représenter un nombre infini d’éléments d’un ensemble.
Les nombres tels que les nombres réels, les entiers et les nombres naturels peuvent être facilement représentés à l'aide de la notation set-builder. De plus, l'ensemble comportant un intervalle ou une équation peut être mieux décrit par cette méthode.
Définir des exemples de notation du générateur avec la solution
1. Écrivez l'ensemble donné dans la notation set-builder.
UNE = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
Solution : L'ensemble donné A= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} sous la forme du constructeur d'ensembles peut s'écrire :
{x : x est un nombre naturel impair inférieur à 14}.
2. Comment écrire x ≤ 3 ou x ≥ 4 en notation set-builder ?
Solution : Nous pouvons écrire x ≤ 3 ou x ≥ 4 en notation de constructeur d'ensembles sous la forme :
{x ∈ R | x ≤ 3 ou x ≥ 4}
